Предисловие 13
ЧАСТЬ I. ДРОБНО-ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ФРАКТАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 17
Глава 1. Фрактальные множества 19
1.1. Введение 19
1.2. Метрическое и измеримое пространства 20
1.3. Мера Хаусдорфа 22
1.4. Размерность Хаусдорфа и фракталы 27
1.5. Клеточная размерность 30
1.6. Функции и интегралы на фракталах 33
1.7. Свойства интеграла на фрактале 36
1.8. Многократное интегрирование на фрактале 37
1.9. Интегрирование в пространстве с нецелой размерностью 38
1.10. Заключение 41
Глава 2. Дробно-интегральная модель фрактальных сред 43
2.1. Введение 43
2.2. Дробные интегралы Римана-Лиувилля 45
2.3. Дробные интегралы Лиувилля 47
2.4. Дробный интеграл Рисса 49
2.5. Фрактальная массовая размерность 51
2.6. Простейшие модели фрактальных распределений 52
2.7. Фрактальное распределение массы 56
2.8. Плотность состояний в евклидовом пространстве 58
2.9. Интеграл дробного порядка и мера на действительной оси 60
2.10. Дробное интегрирование и масса на действительной оси 63
2.11. Масса фрактальной среды 66
2.12. Электрический заряд фрактального распределения 69
2.13. Вероятность во фрактальных средах 71
2.14. Фрактальное распределение частиц 73
2.15. Заключение 77
Глава 3. Гидродинамика фрактальных сред 78
3.1. Введение 78
3.2. Закон сохранения массы 79
3.3. Полная производная по времени дробного интеграла 81
3.4. Уравнение неразрывности для фрактальной среды 84
3.5. Дробно-интегральное уравнение закона сохранения импульса 86
3.6. Дифференциальное уравнение закона сохранения импульса 87
3.7. Дробно-интегральное уравнение закона сохранения энергии 88
3.8. Дифференциальное уравнение закона сохранения энергии 90
3.9. Уравнения Эйлера для фрактальной среды 92
3.10. Уравнения Навье-Стокса для фрактальной среды 94
3.11. Уравнение равновесия для фрактальной среды 96
3.12. Интеграл Бернулли для фрактальной среды 97
3.13. Звуковые волны во фрактальной среде 99
3.14. Одномерное волновое уравнение для фрактальной среды 100
3.15. Заключение 102
Глава 4. Динамика фрактальных твердых тел 104
4.1. Введение 104
4.2. Уравнения для моментов инерции фрактального твердого тела 106
4.3. Момент инерции фрактального твердотельного шара 108
4.4. Момент инерции фрактального твердотельного цилиндра 111
4.5. Уравнение движения фрактального твердого тела 114
4.6. Маятник Максвелла из фрактального материала 115
4.7. Фрактальное тело, скатывающееся по наклонной плоскости 117
4.8. Заключение 119
Глава 5. Электродинамика фрактальных распределений зарядов и полей 120
5.1. Введение 120
5.2. Электрический заряд фрактального распределения 121
5.3. Электрический ток во фрактальном распределении 124
5.4. Теорема Гаусса для фрактального распределения 125
5.5. Теорема Стокса для фрактального распределения 126
5.6. Закон сохранения заряда для фрактального распределения 127
5.7. Законы Кулона и Био-Савара для фрактального распределения 128
5.8. Закон Гаусса для фрактального распределения 130
5.9. Закон Ампера для фрактального распределения 131
5.10. Уравнения Максвелла для фрактального распределения 133
5.11. Фрактальное распределение как эффективная среда 135
5.12. Мультипольное разложение для фрактального распределения 137
5.13. Дипольный момент фрактального распределения 138
5.14. Квадрупольный момент фрактального распределения 141
5.15. Магаитогидродинамика фрактального распределения 144
5.16. Заключение 149
Глава 6. Принцип стационарности действия для фрактальных сред 150
6.1. Введение 150
6.2. Функционал свободной энергии для фрактальных сред 151
6.3. Уравнение Гинзбурга-Ландау из функционала свободной энергии 152
6.4. Получение уравнения с дробными производными 153
6.5. Заключение 156
Глава 7. Уравнения Чепмена-Колмогорова и Фоккера-Планка для фрактальных сред 158
7.1. Введение 158
7.2. Интегральное уравнение дробного порядка для средних значений 159
7.3. Уравнение Чепмена-Колмогорова нецелого порядка 161
7.4. Уравнение Фоккера-Планка для фрактальных распределений 163
7.5. Стационарные решения обобщенного уравнения Фоккера-Планка 167
7.6. Заключение 169
Глава 8. Статистическая механика фрактальных распределений в фазовом пространстве 171
8.1. Введение 171
8.2. Фрактальное распределение в фазовом пространстве 172
8.3. Дробно-интегральное уравнение условия нормировки 173
8.4. Уравнение неразрывности в конфигурационном пространстве 174
8.5. Уравнение неразрывности в фазовом пространстве 176
8.6. Дробно-интегральное уравнение для средних значений 178
8.7. Обобщенное уравнение Лиувилля 181
8.8. Редуцированные функции распределения 183
8.9. Заключение 184
ЧАСТЬ II. ДРОБНАЯ ДИНАМИКА И НЕЛОКАЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 187
Глава 9. Динамика систем со степенным нелокальным взаимодействием 189
9.1. Введение 189
9.2. Уравнения осцилляции решетки и дисперсионный закон 191
9.3. Уравнения движения взаимодействующих частиц 197
9.4. Операция отображения дискретной модели в непрерывную 199
9.5. Преобразование Фурье для дискретных уравнений движения 201
9.6. Альфа-взаимодействие частиц 204
9.7. Производные дробного порядка по координатам 209
9.8. Производная и интеграл Рисса 214
9.9. Непрерывный предел дискретных уравнений 217
9.10. Линейное взаимодействие ближайших соседей 219
9.11. Линейное альфа-взаимодействие целого порядка 222
9.12. Линейное нелокальное альфа-взаимодействие нецелого порядка 225
9.13. Дробные реакционно-диффузионные уравнения 228
9.14. Нелинейное нелокальное альфа-взаимодействие 232
9.15. Уравнения для трехмерной решетки 236
9.16. Дробные производные из закона дисперсии 238
9.17. Нелокальное взаимодействие Грюнвальда-Летникова-Рисса 241
9.18. Заключение 244
Глава 10. Фрактальное нелокальное взаимодействие 245
10.1. Введение 245
10.2. Конечно-разностные операторы 246
10.3. Уравнение дискретной цепочки 247
10.4. Фрактальное взаимодействие 249
10.5. Фрактальный дисперсионный закон 251
10.6. Заключение 255
Глава 11. Дробный векторный математический анализ 256
11.1. Введение 256
11.2. Об обобщениях векторного математического анализа 257
11.3. Фундаментальные теоремы дробного математического анализа 263
11.4. Дифференциальные векторные операции дробного порядка 267
11.5. Дробные интегральные векторные операторы 271
11.6. Дробная формула Грина 272
11.7. Дробная формула Стокса 275
11.8. Дробная формула Гаусса 278
11.9. Заключение 280
Глава 12. Дробное внешнее исчисление дифференциальных форм 283
12.1. Введение 283
12.2. Дифференциальные формы целого порядка 284
12.3. Внешняя производная дробного порядка 288
12.4. Дробные дифференциальные формы 293
12.5. Оператор звезда Ходжа 299
12.6. Векторные операции через дифференциальные формы 300
12.7. Дробные уравнения Максвелла и дробные k-формы 302
12.8. Производная Капуто в электродинамике 305
12.9. Дробные нелокальные уравнения Максвелла 306
12.10. Дробные уравнения электромагтоггные волны 308
12.11. Заключение 310
Глава 13. Дробные динамические системы 312
13.1. Введение 312
13.2. Градиентные динамические системы 313
13.3. Дробное обобщение градиентных систем 315
13.4. Примеры дробных градиентных систем 322
13.5. Гамильтоновы динамические системы 326
13.6. Дробные обобщения гамильтоновых систем 328
13.7. Заключение 333
Глава 14. Вариации дробного порядка в механике 335
14.1. Введение 335
14.2. Уравнения Гамильтона и вариации целого порядка 335
14.3. Вариации нецелого порядка и уравнения Гамильтона 338
14.4. Уравнения Лагранжа и вариации целого порядка 340
14.5. Дробные вариации и уравнения Лагранжа 342
14.6. Условия Гельмгольца и уравнения нелагранжевых систем 345
14.7. Дробные вариации и негамильтоновы системы 348
14.8. Устойчивость по отношению к возмущениям дробного порядка 350
14.9. Заключение 354
Глава 15. Дробная статистическая механика 356
15.1. Введение 356
15.2. Уравнение Лиувилля с дробными производными 357
15.3. Уравнения Боголюбова с дробными производными 361
15.4. Уравнение Власова с дробными производными 365
15.5. Уравнение Фоккера-Планка с дробными производными 368
15.6. Заключение 373
ЧАСТЫП. ДРОБНАЯ ДИНАМИКА СО СТЕПЕННОЙ ПАМЯТЬЮ 375
Глава 16. Электродинамика со степенной памятью 377
16.1. Введение 377
16.2. Законы универсального отклика 378
16.3. Линейная электродинамика сплошных сред 379
16.4. Дробные интегро-дифференциальные уравнения для законов универсального отклика 382
16.5. Дробное интегро-дифференциальное уравнение для закона Кюри-фон Швейдлера 384
16.6. Дробно-дифференциальное уравнение для закона Гаусса 387
16.7. Дробно-дифференциальные уравнения для электрического поля 390
16.8. Дробно-дифференциальные уравнения для магнитного поля 391
16.9. Степенное затухание магнитного поля 394
16.10. Заключение 395
Глава 17. Динамика неголономных систем с памятью 396
17.1. Введение 396
17.2. Неголономная динамика 397
17.3. Производные дробного порядка по времени 405
17.4. Динамика систем с памятью и неголономными связями 410
17.5. Неголономные связи с дробными производными 417
17.6. Уравнения движения с неголономными связями и памятью 420
17.7. Примеры связей со степенной памятью 422
17.8. Условный экстремум для связей со степенной памятью 426
17.9. Гамильтонов подход к неголономным связям с памятью 428
17.10. Заключение 430
Глава 18. Дискретные отображения с памятью 432
18.1. Введение 432
18.2. Дискретные отображения без памяти 433
18.3. Производные Каггуто и Римана-Лиувилля 439
18.4. Сила трения с памятью и дискретные отображения 442
18.5. Отображения из уравнений с производными высших порядков 452
18.6. Универсальное отображение с памятью при 1 а 2 456
18.7. Обобщение универсального отображения для а 2 461
18.8. Производные Римана-Лиувилля и отображения с памятью 464
18.9. Производная Каггуто и универсальное отображение с памятью 470
18.10. Отображения для ротатора с затуханием и памятью 475
18.11. Диссипативное стандартное отображение с памятью 478
18.12. Отображение Хенона с памятью 480
18.13. Заключение 481
ЧАСТЬ IV. КВАНТОВАЯ ДИНАМИКА И ОПЕРАЦИИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА 483
Глава 19. Дробная динамика гамильтоновых квантовых систем 485
19.1. Введение 485
19.2. Дробно-дифференциальное уравнение Гейзенберга 486
19.3. Свойства дробно-дифференциальной гамильтоновой динамики 488
19.4. Дробно-дифференциальная квантовая динамика свободной частицы 491
19.5. Дробно-дифференциальная квантовая динамика осциллятора 492
19.6. Заключение 494
Глава 20. Дробная динамика открытых квантовых систем 496
20.1. Введение 496
20.2. Супероператор и квантовые операции 497
20.3. Дробная степень супероператора 501
20.4. Дробное марковское уравнение для квантовых наблюдаемых 504
20.5. Дробная динамическая полугруппа 507
20.6. Дробные марковские уравнения для квантовых состояний 509
20.7. Дробное марковское уравнение для осциллятора с трением 511
20.8. Немарковская динамика квантовых открытых систем 515
20.9. Заключение 518
Глава 21. Квантовые аналоги производных дробного порядка 520
21.1. Введение 520
21.2. Вейлевское квантование дифференциальных операторов 521
21.3. Квантование производных Римана-Лиувилля 523
21.4. Квантование производной Лиувилля 526
21.5. Квантование не дифференцируемых функций 528
21.6. Заключение 531
Литература 533
Предметный указатель 566